Y para empezar, les comparto este problema que ya intenté un rato y no ha salido. No parece tan difícil, espero que sólo sea la oxidación, producto de las vacaciones. Como sea, el problema es el siguiente:
Consideremos la sucesión $(a_n)$ definida recursivamente como $a_{n+1}=a_n-na_n^2$. Demuestra que si $a_1\in (0,1)$, entonces la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge.
No es difícil ver que basta con resolver el caso $a_1=\frac{1}{2}$, y para ver que esa serie converge, lo más natural es acotar por arriba con una serie convergente, pero pues no he encontrado la buena...
ResponderEliminar¡Por fin salió! Si definimos $b_n=\frac{1}{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor \lceil \frac{n+1}{2} \rceil }$, podemos demostrar por inducción que $0\leq a_n \leq b_n$.
ResponderEliminarCon esto ya podemos concluir ya que $\sum_{n=1}^\infty b_n$ converge porque $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ y $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}$ convergen.