IMC 2012. Primer día.

Problema 1. Para cada entero positivo $n$, sea $p(n)$ el número de maneras de expresar $n$ como suma de enteros positivos. Por ejemplo, $p(4)=5$ porque
4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1.
También definimos $p(0)=1$.
Demuestra que $p(n)-p(n-1)$ es el número de maneras de expresar $n$ como suma de enteros positivos, cada uno mayor que 1.

Problema 2. Sea $n$ un entero positivo fijo. Determina el menor rango posible de una matriz de $n\times n$ que tiene ceros en la diagonal principal y reales positivos en las demás entradas.

Problema 3. Dado un entero $n>1$, denotemos por $S_n$ al grupo de permutaciones de los números 1,2,...,$n$. Dos personas $A$ y $B$ juegan a lo siguiente: En su turno, seleccionan elementos de $S_n$ (uno a la vez). No se puede elegir un elemento que ya ha sido escogido anteriormente. El juego termina cuando los elementos seleccionados generan a $S_n$. El perdedor es quien haya hecho la última jugada. Si $A$ tiene el primer turno, ¿quién tiene un estrategia ganadora?

Problema 4. Sea $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función con derivada continua que satisface $f'(t)<f(f(t))$ para todo $t \in \mathbb{R}$. Demuestra que $f(f(f(t)))\leq 0$ para todo $t\geq 0$.

Problema 5. Sea $a$ un número racional y $n$ un entero positivo. Demuestra que el polinomio $X^{2^n}(X+a)^{2^n}+1$ es irreducible en el anillo $\mathbb{Q}$[X] de polinomios con coeficientes racionales.