Group Theory problem.

Let $G$ be a group such that every subgroup of $G$ is subnormal. Suppose that there exists $N \lhd G$ such that $Z(N)$ is nontrivial and $G/N$ is cyclic. Prove that $Z(G)$ is nontrivial.

$H$ is a subnormal group of $G$ if there exist subgroups $H_1,H_2,\dots,H_n=G$ such that
$H\lhd H_1\lhd \dots \lhd H_n=G$.

IMC 2012, segundo día.

Problema 1. Considera un polinomio
$f(x)=x^{2012}+a_{2011}x^{2011}+...+a_1x+a_0.$
Albert Einstein y Homero Simpson juegan el siguiente juego. En su turno, eligen uno de los coeficientes $a_0,a_1,...,a_{2011}$ y le asignan un valor real. Albert juega primero. Una vez que se ha asignado un valor a un coeficiente, este no puede ser cambiado. El juego termina cuando se haya asignado valor a todos los coeficientes.
La meta de Homero es lograr que $f(x)$ sea divisible entre un polinomio fijo $m(x)$, mientras que Albert debe evitar esto.

$(a)$ ¿Quién de los dos tiene estrategia ganadora si $m(x)=x-2012$?
$(b)$ ¿Quién de los dos tiene estrategia ganadora si $m(x)=x^2+1$?

Problema 2. Se define la sucesión $(a_n)$ recursivamente como $a_0=1, a_1=\frac{1}{2}$ y
$a_{n+1}=\frac{na_n^2}{1+(n+1)a_n}$ para $n\geq 1.$
Demuestra que la serie $\sum_{k=0}^\infty \frac{a_{k+1}}{a_k}$ converge y determina su valor.

Problema 3. ¿Es finito o infinito el conjunto de enteros positivos $n$ tales que $n!+1$ divide a $(2012n)!$?

Problema 4. Sea $n\geq 2$ un entero. Encuentra todos los números reales $a$ para los cuales existen reales $x_1,x_2,...,x_n$ que cumplen
$x_1(1-x_2)=x_2(1-x_3)=...=x_{n-1}(1-x_n)=x_n(1-x_1)=a.$

Problema 5. Sea $c\geq 1$ un número real. Sea $G$ un grupo abeliano y $A\subset G$ un conjunto finito que satisface $|A+A|\leq c|A|$. Demuestra que para todo entero positivo $k$, $|kA|\leq c^k|A|$, en donde $2A=A+A$, $3A=A+A+A$ y así sucesivamente.

IMC 2012. Primer día.

Problema 1. Para cada entero positivo $n$, sea $p(n)$ el número de maneras de expresar $n$ como suma de enteros positivos. Por ejemplo, $p(4)=5$ porque
4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1.
También definimos $p(0)=1$.
Demuestra que $p(n)-p(n-1)$ es el número de maneras de expresar $n$ como suma de enteros positivos, cada uno mayor que 1.

Problema 2. Sea $n$ un entero positivo fijo. Determina el menor rango posible de una matriz de $n\times n$ que tiene ceros en la diagonal principal y reales positivos en las demás entradas.

Problema 3. Dado un entero $n>1$, denotemos por $S_n$ al grupo de permutaciones de los números 1,2,...,$n$. Dos personas $A$ y $B$ juegan a lo siguiente: En su turno, seleccionan elementos de $S_n$ (uno a la vez). No se puede elegir un elemento que ya ha sido escogido anteriormente. El juego termina cuando los elementos seleccionados generan a $S_n$. El perdedor es quien haya hecho la última jugada. Si $A$ tiene el primer turno, ¿quién tiene un estrategia ganadora?

Problema 4. Sea $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función con derivada continua que satisface $f'(t)<f(f(t))$ para todo $t \in \mathbb{R}$. Demuestra que $f(f(f(t)))\leq 0$ para todo $t\geq 0$.

Problema 5. Sea $a$ un número racional y $n$ un entero positivo. Demuestra que el polinomio $X^{2^n}(X+a)^{2^n}+1$ es irreducible en el anillo $\mathbb{Q}$[X] de polinomios con coeficientes racionales.

Uno de números.

Demuestra que existe una única pareja de enteros positivos $a,n$ tal que
$$a^{n+1}-(a+1)^n=2001$$.

Función con la PVM

Muestra que si una función $f:I\to \mathbb{R}$ con $I$ un intervalo de $\mathbb{R}$ cumple:

• La propiedad del valor intermedio y
• que la preimagen de cualquier punto en la imagen es cerrado de $\mathbb{R}$,

entonces la función es contínua. En particular, muestra que una función suprayectiva y creciente en un intervalo es contínua.

Problema del día.

Sea $G$ un grupo que no tiene elementos de orden 2 y tal que $\forall$ $a,b\in G$, $(ab)^2=(ba)^2$. Demuestra que $G$ es abeliano.

Continuamos con series.

$(a)$ Da un ejemplo de dos sucesiones $(a_n)$ y $(b_n)$ de reales positivos y decrecientes, tales que las series $\sum_{n=1}^\infty a_n$ y  $\sum_{n=1}^\infty b_n$ diverjan, pero  $\sum_{n=1}^\infty min \{a_n, b_n\}$ converja.

$(b)$ ¿Es posible dar un ejemplo como el anterior si $a_n=\frac{1}{n}$ $\forall n\geq 0$?

Y comienzan los problemas...

Bueno, la motivación para abrir este blog es que trabajemos en problemas de olimpiada universitaria los de la comunidad "PDMalesca". Creo que esto será mucho más cómodo que usar Facebook, acá sí se puede escribir bonito.

Y para empezar, les comparto este problema que ya intenté un rato y no ha salido. No parece tan difícil, espero que sólo sea la oxidación, producto de las vacaciones. Como sea, el problema es el siguiente:

Consideremos la sucesión $(a_n)$ definida recursivamente como $a_{n+1}=a_n-na_n^2$. Demuestra que si $a_1\in (0,1)$, entonces la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge.