IMC 2012, segundo día.

Problema 1. Considera un polinomio
$f(x)=x^{2012}+a_{2011}x^{2011}+...+a_1x+a_0.$
Albert Einstein y Homero Simpson juegan el siguiente juego. En su turno, eligen uno de los coeficientes $a_0,a_1,...,a_{2011}$ y le asignan un valor real. Albert juega primero. Una vez que se ha asignado un valor a un coeficiente, este no puede ser cambiado. El juego termina cuando se haya asignado valor a todos los coeficientes.
La meta de Homero es lograr que $f(x)$ sea divisible entre un polinomio fijo $m(x)$, mientras que Albert debe evitar esto.

$(a)$ ¿Quién de los dos tiene estrategia ganadora si $m(x)=x-2012$?
$(b)$ ¿Quién de los dos tiene estrategia ganadora si $m(x)=x^2+1$?

Problema 2. Se define la sucesión $(a_n)$ recursivamente como $a_0=1, a_1=\frac{1}{2}$ y
$a_{n+1}=\frac{na_n^2}{1+(n+1)a_n}$ para $n\geq 1.$
Demuestra que la serie $\sum_{k=0}^\infty \frac{a_{k+1}}{a_k}$ converge y determina su valor.

Problema 3. ¿Es finito o infinito el conjunto de enteros positivos $n$ tales que $n!+1$ divide a $(2012n)!$?

Problema 4. Sea $n\geq 2$ un entero. Encuentra todos los números reales $a$ para los cuales existen reales $x_1,x_2,...,x_n$ que cumplen
$x_1(1-x_2)=x_2(1-x_3)=...=x_{n-1}(1-x_n)=x_n(1-x_1)=a.$

Problema 5. Sea $c\geq 1$ un número real. Sea $G$ un grupo abeliano y $A\subset G$ un conjunto finito que satisface $|A+A|\leq c|A|$. Demuestra que para todo entero positivo $k$, $|kA|\leq c^k|A|$, en donde $2A=A+A$, $3A=A+A+A$ y así sucesivamente.

IMC 2012. Primer día.

Problema 1. Para cada entero positivo $n$, sea $p(n)$ el número de maneras de expresar $n$ como suma de enteros positivos. Por ejemplo, $p(4)=5$ porque
4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1.
También definimos $p(0)=1$.
Demuestra que $p(n)-p(n-1)$ es el número de maneras de expresar $n$ como suma de enteros positivos, cada uno mayor que 1.

Problema 2. Sea $n$ un entero positivo fijo. Determina el menor rango posible de una matriz de $n\times n$ que tiene ceros en la diagonal principal y reales positivos en las demás entradas.

Problema 3. Dado un entero $n>1$, denotemos por $S_n$ al grupo de permutaciones de los números 1,2,...,$n$. Dos personas $A$ y $B$ juegan a lo siguiente: En su turno, seleccionan elementos de $S_n$ (uno a la vez). No se puede elegir un elemento que ya ha sido escogido anteriormente. El juego termina cuando los elementos seleccionados generan a $S_n$. El perdedor es quien haya hecho la última jugada. Si $A$ tiene el primer turno, ¿quién tiene un estrategia ganadora?

Problema 4. Sea $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función con derivada continua que satisface $f'(t)<f(f(t))$ para todo $t \in \mathbb{R}$. Demuestra que $f(f(f(t)))\leq 0$ para todo $t\geq 0$.

Problema 5. Sea $a$ un número racional y $n$ un entero positivo. Demuestra que el polinomio $X^{2^n}(X+a)^{2^n}+1$ es irreducible en el anillo $\mathbb{Q}$[X] de polinomios con coeficientes racionales.