Continuamos con series.

$(a)$ Da un ejemplo de dos sucesiones $(a_n)$ y $(b_n)$ de reales positivos y decrecientes, tales que las series $\sum_{n=1}^\infty a_n$ y  $\sum_{n=1}^\infty b_n$ diverjan, pero  $\sum_{n=1}^\infty min \{a_n, b_n\}$ converja.

$(b)$ ¿Es posible dar un ejemplo como el anterior si $a_n=\frac{1}{n}$ $\forall n\geq 0$?

Y comienzan los problemas...

Bueno, la motivación para abrir este blog es que trabajemos en problemas de olimpiada universitaria los de la comunidad "PDMalesca". Creo que esto será mucho más cómodo que usar Facebook, acá sí se puede escribir bonito.

Y para empezar, les comparto este problema que ya intenté un rato y no ha salido. No parece tan difícil, espero que sólo sea la oxidación, producto de las vacaciones. Como sea, el problema es el siguiente:

Consideremos la sucesión $(a_n)$ definida recursivamente como $a_{n+1}=a_n-na_n^2$. Demuestra que si $a_1\in (0,1)$, entonces la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge.