Let G be a group such that every subgroup of G is subnormal. Suppose that there exists N \lhd G such that Z(N) is nontrivial and G/N is cyclic. Prove that Z(G) is nontrivial.
H is a subnormal group of G if there exist subgroups H_1,H_2,\dots,H_n=G such that
H\lhd H_1\lhd \dots \lhd H_n=G.
PDM Universitarios
lunes, 20 de agosto de 2012
lunes, 30 de julio de 2012
IMC 2012, segundo día.
Problema 1. Considera un polinomio
f(x)=x^{2012}+a_{2011}x^{2011}+...+a_1x+a_0.
Albert Einstein y Homero Simpson juegan el siguiente juego. En su turno, eligen uno de los coeficientes a_0,a_1,...,a_{2011} y le asignan un valor real. Albert juega primero. Una vez que se ha asignado un valor a un coeficiente, este no puede ser cambiado. El juego termina cuando se haya asignado valor a todos los coeficientes.
La meta de Homero es lograr que f(x) sea divisible entre un polinomio fijo m(x), mientras que Albert debe evitar esto.
(a) ¿Quién de los dos tiene estrategia ganadora si m(x)=x-2012?
(b) ¿Quién de los dos tiene estrategia ganadora si m(x)=x^2+1?
Problema 2. Se define la sucesión (a_n) recursivamente como a_0=1, a_1=\frac{1}{2} y
a_{n+1}=\frac{na_n^2}{1+(n+1)a_n} para n\geq 1.
Demuestra que la serie \sum_{k=0}^\infty \frac{a_{k+1}}{a_k} converge y determina su valor.
Problema 3. ¿Es finito o infinito el conjunto de enteros positivos n tales que n!+1 divide a (2012n)!?
Problema 4. Sea n\geq 2 un entero. Encuentra todos los números reales a para los cuales existen reales x_1,x_2,...,x_n que cumplen
x_1(1-x_2)=x_2(1-x_3)=...=x_{n-1}(1-x_n)=x_n(1-x_1)=a.
Problema 5. Sea c\geq 1 un número real. Sea G un grupo abeliano y A\subset G un conjunto finito que satisface |A+A|\leq c|A|. Demuestra que para todo entero positivo k, |kA|\leq c^k|A|, en donde 2A=A+A, 3A=A+A+A y así sucesivamente.
f(x)=x^{2012}+a_{2011}x^{2011}+...+a_1x+a_0.
Albert Einstein y Homero Simpson juegan el siguiente juego. En su turno, eligen uno de los coeficientes a_0,a_1,...,a_{2011} y le asignan un valor real. Albert juega primero. Una vez que se ha asignado un valor a un coeficiente, este no puede ser cambiado. El juego termina cuando se haya asignado valor a todos los coeficientes.
La meta de Homero es lograr que f(x) sea divisible entre un polinomio fijo m(x), mientras que Albert debe evitar esto.
(a) ¿Quién de los dos tiene estrategia ganadora si m(x)=x-2012?
(b) ¿Quién de los dos tiene estrategia ganadora si m(x)=x^2+1?
Problema 2. Se define la sucesión (a_n) recursivamente como a_0=1, a_1=\frac{1}{2} y
a_{n+1}=\frac{na_n^2}{1+(n+1)a_n} para n\geq 1.
Demuestra que la serie \sum_{k=0}^\infty \frac{a_{k+1}}{a_k} converge y determina su valor.
Problema 3. ¿Es finito o infinito el conjunto de enteros positivos n tales que n!+1 divide a (2012n)!?
Problema 4. Sea n\geq 2 un entero. Encuentra todos los números reales a para los cuales existen reales x_1,x_2,...,x_n que cumplen
x_1(1-x_2)=x_2(1-x_3)=...=x_{n-1}(1-x_n)=x_n(1-x_1)=a.
Problema 5. Sea c\geq 1 un número real. Sea G un grupo abeliano y A\subset G un conjunto finito que satisface |A+A|\leq c|A|. Demuestra que para todo entero positivo k, |kA|\leq c^k|A|, en donde 2A=A+A, 3A=A+A+A y así sucesivamente.
IMC 2012. Primer día.
Problema 1. Para cada entero positivo n, sea p(n) el número de maneras de expresar n como suma de enteros positivos. Por ejemplo, p(4)=5 porque
4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1.
También definimos p(0)=1.
Demuestra que p(n)-p(n-1) es el número de maneras de expresar n como suma de enteros positivos, cada uno mayor que 1.
Problema 2. Sea n un entero positivo fijo. Determina el menor rango posible de una matriz de n\times n que tiene ceros en la diagonal principal y reales positivos en las demás entradas.
Problema 3. Dado un entero n>1, denotemos por S_n al grupo de permutaciones de los números 1,2,...,n. Dos personas A y B juegan a lo siguiente: En su turno, seleccionan elementos de S_n (uno a la vez). No se puede elegir un elemento que ya ha sido escogido anteriormente. El juego termina cuando los elementos seleccionados generan a S_n. El perdedor es quien haya hecho la última jugada. Si A tiene el primer turno, ¿quién tiene un estrategia ganadora?
Problema 4. Sea f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} una función con derivada continua que satisface f'(t)<f(f(t)) para todo t \in \mathbb{R}. Demuestra que f(f(f(t)))\leq 0 para todo t\geq 0.
Problema 5. Sea a un número racional y n un entero positivo. Demuestra que el polinomio X^{2^n}(X+a)^{2^n}+1 es irreducible en el anillo \mathbb{Q}[X] de polinomios con coeficientes racionales.
4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1.
También definimos p(0)=1.
Demuestra que p(n)-p(n-1) es el número de maneras de expresar n como suma de enteros positivos, cada uno mayor que 1.
Problema 2. Sea n un entero positivo fijo. Determina el menor rango posible de una matriz de n\times n que tiene ceros en la diagonal principal y reales positivos en las demás entradas.
Problema 3. Dado un entero n>1, denotemos por S_n al grupo de permutaciones de los números 1,2,...,n. Dos personas A y B juegan a lo siguiente: En su turno, seleccionan elementos de S_n (uno a la vez). No se puede elegir un elemento que ya ha sido escogido anteriormente. El juego termina cuando los elementos seleccionados generan a S_n. El perdedor es quien haya hecho la última jugada. Si A tiene el primer turno, ¿quién tiene un estrategia ganadora?
Problema 4. Sea f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} una función con derivada continua que satisface f'(t)<f(f(t)) para todo t \in \mathbb{R}. Demuestra que f(f(f(t)))\leq 0 para todo t\geq 0.
Problema 5. Sea a un número racional y n un entero positivo. Demuestra que el polinomio X^{2^n}(X+a)^{2^n}+1 es irreducible en el anillo \mathbb{Q}[X] de polinomios con coeficientes racionales.
lunes, 11 de junio de 2012
Uno de números.
Demuestra que existe una única pareja de enteros positivos a,n tal que
a^{n+1}-(a+1)^n=2001.
a^{n+1}-(a+1)^n=2001.
jueves, 9 de febrero de 2012
Función con la PVM
Muestra que si una función f:I\to \mathbb{R} con I un intervalo de \mathbb{R} cumple:
- La propiedad del valor intermedio y
- que la preimagen de cualquier punto en la imagen es cerrado de \mathbb{R},
entonces la función es contínua. En particular, muestra que una función suprayectiva y creciente en un intervalo es contínua.
miércoles, 8 de febrero de 2012
Problema del día.
Sea G un grupo que no tiene elementos de orden 2 y tal que \forall a,b\in G, (ab)^2=(ba)^2. Demuestra que G es abeliano.
viernes, 20 de enero de 2012
Continuamos con series.
(a) Da un ejemplo de dos sucesiones (a_n) y (b_n) de reales positivos y decrecientes, tales que las series \sum_{n=1}^\infty a_n y \sum_{n=1}^\infty b_n diverjan, pero \sum_{n=1}^\infty min \{a_n, b_n\} converja.
(b) ¿Es posible dar un ejemplo como el anterior si a_n=\frac{1}{n} \forall n\geq 0?
(b) ¿Es posible dar un ejemplo como el anterior si a_n=\frac{1}{n} \forall n\geq 0?
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